Question

 设，函数.

（Ⅰ）当时,求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调性；（Ⅲ）当时,求函数的最小值.

Answer

 （Ⅰ）解（1）当时，

令  得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

      所以曲线在处的切线方程为：．

（Ⅱ）当时

当时，，

在内单调递减，内单调递增；

当时，恒成立，故在内单调递增；

综上，在内单调递减，内单调递增．

（Ⅲ）①当时，，

      ，恒成立． 在上增函数．

故当时，

②  当时，，

（）

（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数．故当时，，且此时

(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数．所以在区间上为减函数，在上为增函数

故当时，，且此时

(iii)当；即 时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，．

综上所述，当时，在时和时的最小值都是．

所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为

，而，

所以此时的最小值为．

当时，在时最小值为，在时的最小值为，

而，所以此时的最小值为

所以函数的最小值为