Question

 如图，P为平面ABCD外一点，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠BAD＝90°，PA⊥面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．

（1）求证：；

（2）求异面直线PB与CD所成角．

Answer

 【解析】
（1）证明：∵N是PB的中点，M为PC中点，∴MN//BC，∵BC//AD，

∴MN//AD， ∴A、D、M、N四点共面

又∵PA＝AB，∴AN⊥PB，

又∵PA⊥面ABCD，PB在面ABCD内的射影为AB，

∵AD⊥AB，AD面ABCD．

∴AD⊥PB 又∵ANAD于A

∴PB⊥面ADMN，∴PB⊥MD

（2）取AD中点H，连结BH、PH

∵ ∴ ∴BH//CD

∴∠PBH为异面直线CD与PB所成角或其补角．

设BC＝1，则PA＝AB＝AD＝2，则PB＝2

在Rt△BAH中，BH＝

在Rt△PAH中，PH＝

∴＝＝＝

异面直线CD与PB所成角为