Question

 （本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）

    如图，圆与轴的正半轴交于点B，P是圆上的动点，P点在轴上的投影是D，点M满足。

   （1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形。

   （2）过点B的直线与M点的轨迹C交于不同的两点E、F，若，求直线的方程。

Answer

 【解析】
（1）

    设，则题意轴且M是DP的中点，

    所以   2分

又P在圆上，所以，即

，即 4分

轨迹是以与为焦点，长轴长为4的椭圆。 6分

注：只说轨迹是椭圆扣1分。

   （2）方法一：当直线的斜率不存在时，，不满足题意。 7分

    设直线方程为，代入椭圆方程得：

    △ 9分

    设，则 （＊）  11分

    由知E是BF中点，所以 （＊＊）

    由（＊）、（＊＊）解得满足，所以 13分

    即所求直线方程为：  14分

    注：解题过程中若不验证斜率不存在或△符号时，扣1分。

    方法二：设，由知E是BF中点，又，所以，因都在椭圆上，所以  9分

    解得： 11分

    若，则   13分

    所以直线方程为：   14分