Question

 （本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题8分）

    已知函数。

   （1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围；

   （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；

   （3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。

Answer

 【解析】
（1） 当时，

    设且，由是上的增函数，则  2分

    3分

    由，知，所以，即  5分

   （2）当时，在上恒成立，即  6分

    因为，当即时取等号，   8分

    ，所以在上的最小值为。则    10分

   （3）因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且   11分

    ①若

    当时，是上的增函数，则，

    所以方程在上有两不等实根，

    即在上有两不等实根，所以

    ，即且  13分

    当时，在上递减，则，即

    ，所以 14分

②若

当时，是上的减函数，所以，即

，所以  15分

当是上的增函数，所以所以方程在上有两不等实根，即在上有两不等实根，

所以即且    17分

综上知：或且或且。

即：或且   18分