Question

 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．

（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；         

（Ⅱ）设AA₁＝AC＝AB，求二面角A₁－AD－C₁的大小。

Answer

 解法一：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．     ……2分

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，

∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，

∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分

（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，

∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面

ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．

不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，

tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．

所以二面角A1－AD－C1为60°．          ………12分

解法二：

（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．

设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．

则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．   ……3分

＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．

·＝0，∴ED⊥BB1．

又＝(－2a，0，2c)，

·＝0，∴ED⊥AC1，    ……6分

所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．

（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，

＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，

·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，

∴BC⊥平面A1AD．

又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，

＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，

·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，

∴ EC⊥面C1AD． ……10分

cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．

所以二面角A1－AD－C1为60°．