Question

 设函数，且，其中是自然对数的底数.

（1）求与的关系；

（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.

Answer

 【解析】
（1）由题意得   …………1分

而，所以、的关系为              …………3分

（2）由（1）知，

                       …………4分

   令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.        …………5分

①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，

  ∴在内是单调递减函数，即适合题意；…………6分

②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，∴，只需，即，

∴在内为单调递增函数，故适合题意.   …………7分

③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.                     

综上所述，的取值范围为.       ……………………9分

（3）∵在上是减函数，

 ∴时，；时，，即，…10分

①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；…………11分  

②当0＜＜1时，由，

又由（2）知当时，在上是增函数，

 ∴＜，不合题意；……………12分                                             

③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，

故只需＞，   ，而，，

即＞2，      解得＞ ，

综上，的取值范围是.                  ……………………14分