已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e＝，过点C（－1，0）的直线l与...

已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e＝，过点C（－1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足．

（Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；

（Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e＝，过点C（－1，0）的直线l与椭圆 E相交于A、B两点，且满足． （Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；（Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程. 【解析】（Ⅰ）设椭圆E的方程为（a＞b＞0），直线的方程为y＝k（x＋1）由e＝∴a2＝3b2 故椭圆方程x2＋3y2＝3b2 …………1分设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得（－1－x1，－y1）＝2（x2＋1，y2）可得 …………2分由消去y整理并化简得（3k2＋1）x2＋6k2x＋3k2－3b2＝0 …………3分由直线l与椭圆E相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点 …………4分而S△OAB ⑥ …………6分由①④得：x2＋1＝－，代入⑥得：S△OAB＝ …………7分（Ⅱ）因S△OAB＝， …………8分当且仅当，S△OAB取得最大值， …………9分此时x1＋x2＝－1，又由①得＝－1 ∴x1＝1，x2＝－2 …………10分将x1，x2及k2＝代入⑤得3b2＝5，满足△＞0 …………11分 ∴椭圆方程为x2＋3y2＝5 …………12分

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

已知椭圆4x²＋y²＝1及直线l：y＝x＋m．

（Ⅰ）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？

（Ⅱ）若直线l被椭圆截得的线段长为，求直线的方程．