Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

    （1）求证：平面BCD；

    （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

    （3）求点E到平面ACD的距离．

Answer

 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

    （I）求证：平面BCD；

    （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

    （III）求点E到平面ACD的距离．

【解析】
方法一：

    （I）证明：连结OC

    在中，由已知可得

    而 

    即

     又

    平面

（II）【解析】
取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

    直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。

     在中，

    是直角斜边AC上的中线，

    异面直线AB与CD所成角大小的余弦为,

    （III）【解析】
设点E到平面ACD的距离为

在中，

而

点E到平面ACD的距离为

    方法二：

    （I）同方法一．……………5分

    （II）【解析】
以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则………………6分

    …………7分

………9分

异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；

    （III）【解析】
设平面ACD的法向量为则   

    令得是平面ACD的一个法向量．

    又 点E到平面ACD的距离