Question

 已知f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，

且f(1)=－1.       

(1)试求常数a、b、c的值；

 (2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由；      

 (3)求函数f(x) 在[-3，]上的最大值与最小值。      

Answer

 【解析】
(1)f′(x)=3ax2+2bx+c∵x=±1是函数f(x)的极值点，∴x=±1是方程f′(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的两根.

由根与系数的关系，得                                   又f(1)=－1,∴a+b+c=－1,③  由①②③解得a=,

(2)f(x)=x3－x,∴f′(x)=x2－=(x－1)(x+1)

当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0当－1＜x＜1时，f′(x)＜0

∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数.∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1,当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1.

(3)最大值1最小值-9.