Question

已知函数在x = 0处取得极值0．

(1)求实数a，b的值；

(2)若关于x的方程，  在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；

(3)证明：对任意的正整数n＞1，不等式 都成立．

Answer

 【解析】
(Ⅰ)  =    ∵x=0时，f(x)取得极值0，∴

解得a=1.b=0,经检验a=1,b=0符合题意.

 (Ⅱ)由a=1知f(x)= x2 +x -ln(x+1)，由f(x)= +m,                

得x2- ln(x+1) -x-m=0，令φ(x)= x2- ln(x+1) -x-m，

则f(x)= +m在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]

恰有两个不同实数根． ，

当x∈(O，1)时， 0，于是φ(x)在(1，2)上单调递增．

       依题意有        ∴.

(Ⅲ) f(x)= x2 +x- ln(x+1)的定义域为{x|x> -1}，    由(Ⅰ)知，

  ∴当-10时，<0，f(x)单调递增.

∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最小值.

∴f(x)  f(0)，又故x2+x  ln(x+1) (当且仅当x=0时，等号成立).

对任意正整数n，取x=>0得， +> ln(+1)=ln(n+1)-lnn，

而，

即                

故