Question

 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n= n²a_n（nN*）．

（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；

（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer

 【解析】
（1）S1=a1=1，

由题知，S2=4a2，即a1+a2=4a2，得a2=a1=，∴ S2=．

同理得，S3=9a3，即S2+a3=9a3，得a3=S2==，∴ S3=．

S4=16a4，即S3+a4=16a4，得a4=S3==，∴ S4=．

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（2）猜想：Sn=．…………………………………………………………………6分

证明：①当n=1时，，与已知相符，故结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即Sk=．

由已知有Sk+1=(k+1)2ak+1

            =(k+1)2(Sk+1-Sk)，

整理得[(k+1)2-1]Sk+1=(k+1)2Sk，即Sk+1=，

∴ Sk+1==，

即当n=k+1时，结论也成立．

综上①②知，对n∈N*，Sn=．…………………………………………………10分