Question

已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:

① 对任意的，总有≥0； ②； ③若且，则有成立，并且称为“友谊函数”，

请解答下列各题：

（1）若已知为“友谊函数”，求的值；

（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.

（3）已知为“友谊函数”,假定存在,使得且,求证:

Answer

 【解析】
（1）取得,又由，得……4′

（2）显然在上满足①②，若，且，则有故满足条件①﹑②﹑③所以为友谊函数. ……………8′

 （3）由③知任给其中，且有，则0＜＜１，

所以 ……………………10′

依题意必有,下面用反证法证明:

若,则,这与矛盾;

若,则,这与矛盾

 故由上述﹑证明知假设不成立,则必有成立,证毕. ………14′