Question

 随着石油资源的日益紧缺，我国决定建立自己的石油储备基地，

已知某石油储备基地原储有石油吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量均为上一年底储油量的25%，且每年年内用出吨，设为正式运营后第年年底的石油储量．

    （Ⅰ）求、、；

    （Ⅱ）猜测出的表达式并用数学归纳法予以证明；

    （Ⅲ）为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于吨，如果吨，该油库能否长期按计划运营？如果能，请加以证明；如果不能，请说明理由．

（计算中可供参考的数据：，）

Answer

 （Ⅰ）依题意，油库原有储油量为a吨，则，

    ，

    ，…；      …………3分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）猜测：对于任意正整数恒有

    ，

    下用数学归纳法证明：

    1o当时，，猜测成立； …………4分

    2o假设当时，成立，       …………5分

    那么，由，得

             ，

    这就是说当时，猜测也成立，

    综合1o、2o知，对于猜测都成立；           …………8分

    （Ⅲ）如果吨时，该油库第年年底的储油量不少于吨，

    ，∴≤3，        …………10分

    ∴=，       

    说明该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营．      …………13分

    本题考查数列知识、数学归纳法的应用、不等式的解法和数学应用能力，属较难题．