Question

 .如图, 在三棱柱中, 侧面, 为棱的中点, 已知, , , ,

求： (1)异面直线与的距离；

(2)二面角的平面角的正切值.

Answer

 【解析】
解法一：（1）∵平面，∴

又∵为的中点，∴，而，且，∴为等边三角形。∴，∴，

∴，∴，∴是异面直线与的公垂线段。

∴异面直线与的距离为1。…………………………（6分）

（2）∵，∴…………………………（8分）

又∵，∴异面直线与所成的角即为二面角的大小。

∴即为所求。又∵，…………………………（10分）

∴………………（12分）

解法二：（1）建立如图所示空间直角坐标系。

由于，，，      

，在三棱柱中有

，，，

，……………………（2分）

，∴，

故，即……………（4分）

又面，故。因此是异面直线与的公垂线段，

则，故异面直线与的距离为1。……………（6分）

（2）由已知有，，故二面角的平面角的大小为向量与的夹角。因，………（10分）

故，即………………。。。。。。。