Question

已知向量，动点M到定直线的距离等于，并且满足，其中为坐标原点，为非负实数．

（I）求动点M的轨迹方程；   

（II）若将曲线向左平移一个单位，得曲线，试判断曲线为何种类型；

（III）若（II）中曲线为圆锥曲线，其离心率满足，当是曲线的两个焦点时，则曲线上恒存在点P，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

 【解析】
（Ⅰ）设，则由，且为原点 ，

得，，，从而，，，  代入

得，为所求的轨迹方程．               ——4分

（Ⅱ）曲线向左平移1个单位，得到曲线的方程为

（1）当时，得，则曲线是一条直线.                  

（2）当时，得.

①若时，则所求曲线是圆；

②若时，则所求曲线是双曲线；

③若时，则所求曲线是椭圆.                           ——8分

（Ⅲ）由，所以曲线为椭圆 ，

又∵，  ∴曲线为焦点在轴上的椭圆.

∵恒成立     ∴以为直径的圆恒与椭圆有交点，

∴，又∵，

∴ ，  综上所述，实数的取值范围是．            ——12分