Question

如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

   (Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；

   (Ⅱ)求证：EFCD；

   (Ⅲ)若，∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成角的大小．

                                                                                                                

Answer

 证明：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，

则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c）.

∵E为AB的中点，F为PC的中点，

∴E（a，0，0），F（a，b，c）.

（Ⅰ）∵＝（0，b，c），＝（0，0，2c），

＝（0，2b，0），

∴＝（＋）.

∴与、共面.

又∴平面PAD，

∴EF∥平面PAD.……………………4分

（Ⅱ）∵=（-2a，0，0），

∴·＝（-2 a，0，0）·（0，b，c）＝0.

∴EFCD.…………………………………………………………8分

（Ⅲ）若∠PDA＝45°则有2b＝2c，即b＝c.

∴＝（0，b，b），＝（0，0，2b）.

∴＜，＞＝

∴＜，＞＝45°.

∵AP平面ABCD，

∴是平面ABCD的法向量.

∴EF与平面ABCD所成的角为90°－＜，＞＝45°.……12分