Question

 已知直线l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+5，圆C：x²+y²-6x-8y+21=0.

⑴求证：直线l与圆C总相交；

⑵求相交弦的长的最小值及此时m的值．     

Answer

 ⑴ 直线l的方程可变形为：（2x+y-7）m +（x+y-5）=0, 。。。。。。。。。。。。1分

令得，即直线l过定点P（2，3）. 。。。。。。。。。。。3分

圆C：x2+y2-6x-8y+21=0   即(x-3)2+(y-4)2=4。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

圆心C（3，4）半径r =2

∵ |CP|=。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

∴点P（2，3）在圆C内，则直线l与圆C总相交.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

⑵ 圆心C（3，4），  P（2，3）        

当CP⊥直线l时和定点（2，3），弦长最短。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

∵|CP|=，r =2         ∴弦长|AB|=。。。。。。。。。。。。10分

此时，    ∴，

则       ∴；   。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分