Question

 已知数列｛a_n｝满足（n－1）a_n+1=（n+1）（a_n－1）且a₂=6,

设b_n=_n+n（n∈N*）.求{b_n}的通项公式.       

Answer

 【解】当n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1.

当n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,………，由此猜想bn=2n2. 要证bn=2n2,只需证an=2n2－n. ………4分

①当n=1时，a1=2×12－1=1成立. ………5分

②假设当n=k时，ak=2k2－k成立.

那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得a k+1=（ak－1）

=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）.

∴当n=k+1时，结论成立。………11分

由①、②知an=2n2－n，从而bn=2n2. ………12分