已知函数f (x) = （1）若函数y = f (x)存在零点a2 + 1，且...

已知函数f (x) =

（1）若函数y = f (x)存在零点a² + 1，且直线y = x – 1与函数y = f (x)的图象相切，求a的值．

（2）当b = 1时，讨论f (x)的单调性．

【解析】（1）由f (a2 + 1) = 0得+ ln1= 0，∴= 0即b = 0．设直线y = x–1与曲线y = f (x)切点为P(x0，y0)，则， ∴x0 – a2 = 1，∴x0 – 1 = 0，x0 = 1，∴a = 0．……5分（2）b = 1时，f (x) = ，f (x)定义域为(a2，+∞)． f′(x) = ，设h (x) = x2 – x + a2，二次方程h (x) = 0对应的判别式= 1 – 4a2．……6分 ①当＜0即a＞或a＜–时，对一切x＞a2，都有f′(x)＞0，此时f (x)是(a2，+∞)上的单调递增函数．……7分 ②当=0即a =±时，仅对x = 有f′(x) = 0，对于其余的x＞a2都有f′(x)＞0．此时f (x)是(a2，+∞)上的单调递增函数．……8分 ③当＞0即–＜a＜时，方程h (x) = 0有两个不同实根x1 = ，a2＜x1＜x2，f (x)，f′(x)随x的变化如下表． x (a2，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞) f′(x) + 0 – 0 + f (x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 此时y=f (x)在上单调递增，在上单调递减．在上单调递增． ……13分

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考点分析：

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已知三次函数y = f (x)过点(–1，0)，且f ′(x) = (x + 1)²，将y = f (x)的图象向右平移一个单位，再将各点的纵坐标变为原来的3倍得函数y = g (x)的图象，函数y = h (x)与y = g (x)的图象关于点M(2，0)对称．

（1）求y = h (x)的解析式；

6ec8aac122bd4f6e （2）若直线x = t (0<t<4)将函数y = h (x)的图象与两坐标轴围成的图形的面积二等分，求t的值．

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已知函数f (x) = ，直线l：9x + 2y + c = 0，当x∈[–2，2]时，函数y = f (x)图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等