Question

 已知集合D = {(x₁，x₂)|x₁>0，x₂>0，x₁ + x₂ = k，k为正常数}．

（Ⅰ）设u = x₁x₂，(x₁，x₂) ∈D，求u的取值范围T；

（Ⅱ）求证：当k≥1时，不等式对任意(x₁，x₂) ∈D恒成立；

（Ⅲ）求使不等式对任意(x₁，x₂) ∈D恒成立的k的范围．       

Answer

 【解析】（Ⅰ）∵x1>0，x2>0，∴x1x2≤，当且仅当x1 = x2 =时等号成立，故u的取值范围为．

（Ⅱ）由于，设u= x1x2

由（1）0＜u≤，又k≥1，k2 – 1≥0，则    ……5分

设f (u) = u –+2，则f (u)在上是增函数．       

∴．

即当k≥1时，不等式成立．     ……8分

（Ⅲ）令，则，即求使f (u)>对u∈恒成立的k的范围．

由（Ⅱ）知，要使对任意(x1，x2)∈D恒成立，必有00，∴函数f (u) = u +在上递减，在上递增，要使函数f (u)在上恒有f (u)>f ()，必有<，即k4 + 16k2 – 16<0，解得0