Question

已知函数

（I）若 在其定义域是增函数，求b的取值范围；

（II）在（I）的结论下，设函数的最小值；

（III）设函数的图象C₁与函数的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

 【解析】
（I）依题意：

在（0,+）上是增函数，对x∈（0,+）恒成立，

   （II）设

当t=1时，ym I n=b+1； …………6分

当t=2时，ym I n=4+2b …………8分

当的最小值为    …………9分

   （III）设点P、Q的坐标是

则点M、N的横坐标为

C1在点M处的切线斜率为

C2在点N处的切线斜率为  …………10分

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

设 ……………… ①     

这与①矛盾，假设不成立.

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.