Question

 

如图所示，在直三棱柱中，，平面为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）设是的中点，试求出与

平面所成角的正弦值．

Answer

证明：(Ⅰ)∵，∴四边形为正方形，∴，

又∵面，∴，∴面，……………………………3分

∴，又，∴平面．………………………………6分

解法一:(Ⅱ)当点为的中点时，

平面，∴平面，

则即为与平面所成角  …………………………………………………9分

在矩形中,由

可知,则,…………………………………………………11分

故,不妨设,则,

故与平面所成角的正弦值为.………………………………………………14分

解法二: 在矩形中,由

可知,则,

故,…………………………………………9分

如图建立空间直角坐标系,不妨设,

则,

可得…………11分

由题意可知即为平面的一个法向量,

故与平面所成角的正弦值为.……………14分