Question

 已知，，数列满足，

， ．

（I）求证：数列是等比数列；

（II）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；

（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer

 【解析】
（I）∵，，，

        ∴．

        即．…………………………………………1分

        又若an≠1，则an+1≠1，事实上当an≠1时，由知，若an+1=1，则an=1，从而与an≠1矛盾，故an+1≠1．

由此及≠1可知an≠1对任意n∈N都成立．

       故对任何，，………………………………………3分

所以．

        ∵，

      ∴是以为首项，为公比的等比数列.…………5分

    （II）由（I）可知=  （）．

        ∴．

  （III）由，得 ……………… （*）

        依题意（*）式对任意恒成立，

        ①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不符合题意．…………10分

②当t<0时，由，可知（）．

而当m是偶数时，因此t<0不符合题意．………………11分

③当t>0时，由（）,

∴ ，∴．（）

设  （），

∵ =,

∴．

∴的最大值为．………………………………13分

所以实数的取值范围是．………………………………14分