Question

 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（1）证明：AC⊥SB；             

（2）求二面角N—CM—B的大小；

（3）求点B到平面CMN的距离.

Answer

 【解析】
（1）取AC中点D，连结SD、DB.              

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB-----------------------------4分

（2）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC.

过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，

过E作EF⊥CM于F，连结NF，

则NF⊥CM.

∴∠NFE为二面角N－CM－B的平面角---------------------------------------6分

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.

又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.              

在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，

在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，

∴二面角N—CM—B的大小是arctan2-----------------------------------8分

（3）在Rt△NEF中，NF==，

∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2--------------10分

设点B到平面CMN的距离为h，

∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为-----------12分