Question

 圆x²+y²=9的动弦AB垂直于x轴，P 为AB上的点，且︱AP︱·︱BP︱=4，（1）求点P的轨迹；（2）若M（x，y）是（1）中曲线上任一点，求t=的取值范围。

Answer

 【解析】
（1）∵弦AB垂直于x轴，∴xA=xB，yA=-yB∴设A（x，y1），B（x，-y1），P（x，y）

       ∵︱AP︱·︱BP︱=4，∴ ·=4

即︱y-y1︱·︱y+y1︱=4 ∴︱y2-y12︱=4

∵A（x，y1）在圆上，∴y12=9-x2

∴︱ x2+ y2-9︱=4

∵P（x，y）在圆内，∴x2+ y2＜9

∴9-（x2+ y2）=4

∴所求轨迹方程为x2+ y2=5是以（0，0）为圆心，r=的圆

（2）t=可看作x2+ y2=5上的一点（x，y）与（3，-1）连线的斜率，由图知t的最值，即为圆x2+ y2=5的切线的斜率。设切线方程为y+1=k（x-3），即kx-y-3k-1=0

∴=，即2k2+3k-2=0，

∴k=-2或 k=

∴tmax=-2，tmin=