Question

 已知二次函数y=f（x）在x= 处取得最小值- （t﹥0），f（1）=0， （1）求y=f（x）的表达式；（2）若任意实数x都满足等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹ （g（x）为多项式，n∈N⁺）试用t表示a_n和b_n；（3）设圆C_n的方程为（x-a_n）²+（y-b_n）²=r ，圆C_n与C_n+1 外切（n=1，2，3…），｛r_n｝是各项都为正数的等比数列，记S_n为前n个圆的面积之和，求r_n，s_n。

Answer

 【解析】
（1）设f（x）=a（x-）2-，因为f（1）=0，所以a（1-）2-=0，得a=1，

       ∴f（x）=x2-（t+2）x+t+1

           （2） f（x）=（x-1）[x-（t+1）]，代入已知等式得

（x-1）[x-（t+1）]g（x）+ anx+bn=xn+1

将x=1，x=t+1代入上式得  an+bn=1

                         （t+1）an+bn=（t+1）n+1

由t≠0可得 an= [（t+1）n+1-1]，bn=[1-（t+1）n]

（3）因为an+bn=1，所以圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，

∴︱OnOn+1︱=︱an+1-an︱=(t+1)n

又∵Cn与Cn+1外切，∴rn+rn+1=(t+1)n

设｛rn｝的公比为q，则  rn+q rn=(t+1)n①

rn+1+q rn+1=(t+1)n+1②

②÷①

得q=t+1，由①知r1=

∴rn= r1qn-1=

∴Sn=（r12+r22+…rn2）=

    =