Question

已知函数，，其中无理数

．

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）若在其定义域内是单调函数，求的取值范围；

（Ⅲ）对于区间（1，2）中的任意常数，是否存在使成立？

若存在，求出符合条件的一个；否则，说明理由．

Answer

 （Ⅰ）证明：当时，．令，则．

若，递增；若，递减，

则是的极（最）大值点．于是

，即．故当时，有．……5分

（Ⅱ）【解析】
对求导，得．

①若，，则在上单调递减，故合题意．

②若，．

则必须，故当时，在上单调递增．

③若，的对称轴，则必须，

故当时，在上单调递减．

综合上述，的取值范围是．……………………10分

（Ⅲ）【解析】
令．则问题等价于

         找一个使成立，故只需满足函数的最小值即可．

     因，

而，

故当时，，递减；当时，，递增．

于是，．

与上述要求相矛盾，故不存在符合条件的．