Question

已知函数图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围;

（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，AB中点为，求证：．

Answer

 【解析】
（Ⅰ），，．

∴，且．    …………………… 2分

解得a＝2，b＝1．                           …………………… 4分

（Ⅱ），令，

则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．

在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；

当x∈时，，∴h(x)是减函数．     …………………… 7分

则方程在内有两个不等实根的充要条件是……10分

即．                            …………………… 12分

（Ⅲ），．

假设结论成立，则有

①－②，得．

∴．

由④得，       

∴．即．

即．⑤                        …………………… 14分

令，（0＜t＜1)，

则＞0．∴在0＜t＜1上增函数．        

，∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分