Question

 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，动点满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设过点且不垂直于坐标轴的动直线交轨迹于、两点，试问在轴上是否存在一点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点的活动范围；若不存在，试说明理由.

Answer

 解析：（1）双曲线的方程可化为，则，，所以点的轨迹是以、为焦点且长轴长为4的椭圆，其方程为.………………………………………………………………（4分）

（2）假设存在满足条件的点，设直线的方程为，代入椭圆方程得.设，由韦达定理得，.……………………（6分）

，，，

又.

因为以、为邻边的平行四边形为菱形，所以，

，即，整理得，

，.………………………………（8分）

若，则（当且仅当时取等号），即；

若，则（当且仅当时取等号），即.

综上可得，满足条件的点存在，其活动范围是轴上满足且的区域.…………………………………………………………………………（10分）