Question

 已知数列{a_n}中，a₁ = t (t≠0，且t≠1)，a₂ = t²．且当x = t时，函数f (x) =(a_n – a_{n – 1})x² – (a_{n + 1} – a_n) x    (n≥2)取得极值．

    （1）求证：数列{a_{n + 1} – a_n}是等比数列；

    （2）若b_n = a_n ln |a_n| (n∈N⁺)，求数列{b_n}的前n项的和S_n；

    （3）当t = –时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，请说明理由．

Answer

 【解析】（1）由已知f′(t) = (an – an-1)·t – (an + 1 – an) = 0．

    即 (an – an – 1) t = (an + 1 – an)

    又a2 – a1 = t2 – t，t≠0且t≠1．

    ∴a2 – a1≠0．

    ∴

    ∴数列{an + 1 – an}是首项为t2 – t，公比为t的等比数列．……………………4分

   （2）由（1）知an + 1 – an = (t2 – t)·tn–1 = t n+1 – t n．

    ∴an – an–1 = tn – tn–1；    an–1 – an = tn–1 – tn–2；……a2 – a1 = t2 – t

    以上n个式子相加：an–a1 = tn – t， an = tn， (t≠0且t≠1)．………………6分

    bn = an ln |an| = tn·ln |tn| = n·tn·ln|t|．

    ∴Sn = (t + 2·t2 + 3·t3 + … +n·tn )·ln |t|

    t Sn = (t2 + 2t3 + …+ ntn + 1) ln |t|

    ∴Sn = …………………………………………9分

    （3）因为t =，即–1＜t＜0．

    ∴当n为偶数时，bn = n·t n ln| t |＜0

      当n为奇数时，bn = n·t n ln| t |＞0

    所以最大项必须为奇数项．…………………………………………10分

    设最大项为b2k + 1，则有

    即．

    整理得：    将

    ∵k∈N+    ∴k = 2．

    即数列{bn}中的最大项为第5项．………………………………13分