Question

 对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“科比函数”.

（1）给出下列两个函数：①；②，其中是“科比函数”的函数序号是 ② .

（2）若函数是“科比函数”，则实数k的取值范围是.

Answer

 （1）② .

（2）.

【解】（1）因为是增函数，若f(x)为“科比函数”，则f(a)＝a，f(b)＝b，即

a＋1＝a，b＋1＝b，无解，所以不是“科比函数”.

因为当x∈[0，1]时，∈[0，1]，所以是“科比函数”.

（2）因为是增函数，若是“科比函数”，则存在实数a，b(－2≤a＜b)，使，即.所以a，b为方程的两个实数根，从而方程有两个不等实根.

令，则.当t＝0时，k＝－2；当t＝时，k＝.

由图可知，当时，直线y＝k与曲线有两个不同交点，即方程有两个不等实根，故实数k的取值范围是.