Question

已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式；

（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列的前项之和为，求证：

.

Answer

 （Ⅰ）由题设.                               （1分）

由已知，所以.又b＞0，所以a＜3.     （2分）

因为，则.又a＞0，所以b＞2，从而有.       （3分）

因为，故.                                                       （4分）

（Ⅱ）设，即.                              （5分）

因为，则，所以.                     （6分）

因为，且b∈N*，所以，即，且b＝3.           （7分）

故.                                                           （8分）

（Ⅲ）由题设，.                            （9分）

当时，，当且仅当时等号成立，所以.                                         （11分）

于是.    （12分）

因为S1＝3，S2＝9，S3＝21，则

.                                  (13分)