Question

在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图.

（Ⅰ）若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；

（Ⅱ）求二面角C—AB—F的正切值.

Answer

 （Ⅰ）因为AF＝BF，∠AFB＝60°，△AFB为等边三角形.

又G为FB的中点，所以AG⊥FB.                                              （2分）

在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，

所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，

所以AG⊥EF.                                                                （4分）

又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF.                                   （5分）

（Ⅱ）解法一：连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，

CD＝2，AB＝4，E、F分别是CD、AB中点，

所以EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF.

因为EF⊥面ABF，所以CG⊥面ABF.                                           （7分）

过点G作GH⊥AB于H，连结CH，据三垂线定理有CH⊥AB，所以∠CHG为二面角C—AB—F的平面角.                                                                  （9分）

因为Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，所以GH＝.                        （10分）

在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，所以CG＝1.                      （11分）

在Rt△CGH中，tan∠CHG＝＝，故二面角C—AB—F的正切值为.  （12分）

解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，

点B(2，0，0)，A(1，0，)，C(1，1，0).                                     （7分）

因为EF⊥平面ABF，所以＝（0，1，0）为

平面ABF的一个法向量.                                                      （8分）

设＝（x，y，z）为平面ABCD的法向量，

因为，，

由，，得

，  即.

令，则，z＝1，所以＝(，，1).                         （10分）

所以cos<，>＝＝.                                         （11分）

从而tan<，>＝，故二面角C—AB—F的正切值为.                （12分）