Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(1)y＝；(2)y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

Answer

 （Ⅰ）设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：

当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③恒成立.     （3分）

（Ⅱ）（1）对于函数模型：

当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则.

所以f(x)≤9恒成立.                                                          （5分）

因为函数在[10，1000]上是减函数，所以.

从而，即不恒成立.

故该函数模型不符合公司要求.                                                  （8分）

（2）对于函数模型f(x)＝4lgx－3：

当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，则. 

所以f(x)≤9恒成立.                                                         （10分）

设g(x)＝4lgx－3－，则.

当x≥10时，，所以g(x)在[10，1000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以恒成立.

故该函数模型符合公司要求.                                                   （13分）