如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，...

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，且AB＝4，∠POB＝30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P.

6ec8aac122bd4f6e （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，

若△OEF的面积不小于2，求直线l的斜率的取值范围.

（Ⅰ）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A(－2，0），B(2，0），P(，1). （2分）设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则 2a＝｜PA｜－｜PB｜＝，2c＝|AB|＝4. （3分）所以a＝，c＝2，从而b2＝c2－a2＝2. （4分）故双曲线C的方程是. （5分）方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则点A(－2，0），B(2，0），P(，1). （2分）设双曲线C的方程为＞0，b＞0），则. （3分）解得a2＝b2＝2，故双曲线C的方程是（5分） (Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程得，，即 (1－k2)x2－4kx－6＝0. （6分）因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则即（7分）设点E(x1，y1），F(x2，y2)，则x1＋x2＝. （8分）所以｜EF｜＝＝（9分）又原点O到直线l的距离d＝. （10分）所以S△DEF= （11分）因为S△OEF，则（12分）综上分析，直线l的斜率的取值范围是[－，－1)(－1，1)(1，]. （13分）

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考点分析：

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