Question

已知是偶函数，当时，，当时，恒成立.

   （Ⅰ） 若,求的最小值;

   （Ⅱ） 求的最小值；

   （Ⅲ）当时，是否存在，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.

Answer

【解析】
（1） ,在区间上单调递增，即，

所以，当时，

因为函数为偶函数，所以当时，

   （2）

若，则，所以函数在区间上单调递减，即

所以，当时，，

因为函数为偶函数，所以

当时，

若，即，在区间上单调递增，

即，

所以，当时，

因为

若，即，当时，

，

所以

若，即，当时，

，

所以

综上所述，因为函数为偶函数，所以当时，

   （3） 当时，，．     

由（2）知，由，在上是减函数，

故在上是减函数

要使，

只要

即 ①                

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．            

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．