Question

如右图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．

（1）按下列要求写出函数关系式：             

①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数；②设OP(km) ，将表示成的函数．

（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．

Answer

 【解析】
（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故

，又OP＝，

所以，

所求函数关系式为

②若OP=(km) ，则OQ＝10－，

所以OA =OB=

所求函数关系式为

（2）选择函数模型①，

令0 得sin ，因为，所以=，

当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值． ．

这时(km)

因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为(km)时，铺设的排污管道总长度最短．