Question

        如图，抛物线轴交于O，A两点，交直线于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C。

   （I）求证：当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；

   （II）求证：圆C经过除原点外的一个定点；            

   （III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

 

Answer

 【解析】
（I）易得             

设圆C的方程为

这说明当b变化时，（I）中的圆C的圆心在定直线上。            

   （II）设圆C过定点

故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（—1，1）。

   （III）抛物线M的顶点坐标为（），若存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，

则，

整理得

以上过程均可逆，故存在抛物线使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径。