Question

已知函数f (x ) = ax² + bx + c与函数g (x ) =－bx，（a、b、c∈R），若a＞b＞c且a + b + c = 0.

（I）证明：方程f (x ) = g (x )有两个不等实根；

（II）用反证法证明：－2＜＜.

Answer

 证明：（1）证明由ax2 + bx + c =－bx得ax2 + 2bx + c = 0.    ①………2分

∵ a＞b＞c且a + b + c = 0.

∴ a＞0，b =－(a + c).        ………4分

△= 4b2－4ac = 4 (a + c)2－4ac = 4[(+ c)2 +a2]＞0. ………6分

∴ ①有两个不相等的实数根，即方程f (x ) = g (x )有两个不等实根………8分

（2）证明：若结论不成立，则≤－2或≥－.………10分

由（1）可知a＞0，∴ c≤－2a或2c≥－a，………12分

即 a + c≤－a或a + c≥－c，由于a + c =－b. ………13分

∴ a≤b≤c与已知条件a＞b＞c相矛盾，故原命题成立………14分.