Question

 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．

（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、成等比数列．

（2）黄金椭圆：（）的右焦点为，为椭圆上的

任意一点．是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．

（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右

焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．

试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

Answer

 （1）证明：由及，得

，故、、成等比数列．

（2）【解析】
由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，

得，又，及，得点的坐标为，（6分）

因为点在椭圆上，所以，又，得，

，故存在满足题意的直线，其斜率．

（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”．

在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过顶点、．

证明：直线的方程为，原点到该直线的距离为，

将代入，得，又将代入，化简得，

故直线与圆相切，同理可证直线、、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．