Question

 （本题16分，其中第（1）小题8分，第（2）小题8分）

已知椭圆的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点；斜率为的直线过点，为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件．

（1）写出椭圆方程，并求点到直线的距离；

（2）若椭圆上恰好存在3个这样的点，求的值．

Answer

 【解析】
（1）由题意得  解得  …………3分

∴椭圆方程为：                        …………4分

直线的方程为，其一个法向量，设点B的坐标为，由及   得    …………6分

∴到直线的距离为   …………8分

（2）由（1）知，点B是椭圆上到直线的距离为1的点，即与直线的距离为1的二条平行线与椭圆恰好有三个交点。                 

设与直线平行的直线方程为

由得，即

………①…………10分

当时，………②

又由两平行线间的距离为1，可得………③

把②代入③得，即，

即，或                                        …………12分

当时，代入②得，代回③得或    

当，时，由①知

此时两平行线和与椭圆只有一个交点，不合题意；…………14分

当时，代入②得，代回③得或

当，时，由①知

此时两平行线和，与椭圆有三个交点，

∴                            …………16分