Question

如图，五面体中，．底面是正三角形，．四边形是矩形，平面平面

（I）求这个几何体的体积；

（Ⅱ）在上运动，问：当在何处时，有∥平面，请说明理由；

（III）求二面角的余弦值．

Answer

 解: （I）显然这个五面体是四棱锥，因为侧面垂直于底面，所以正三角形的高就是这个四棱锥的高，又 ，，  所以.    于是   .…………4分

（Ⅱ）当为中点时,有∥平面．

证明:连结连结，

∵四边形是矩形  ∴为中点,

∵∥平面，

且平面,平面

∴∥，∴为的中点．…………8分

（III）建立空间直角坐标系如图所示,

则,,,,

所以,,,

 , 设为平面的法向量,

则有,令,

可得平面的一个法向量为, 

 设为平面的法向量, 则有 ,

令,  可得平面的法向量，

,

所以二面角的余弦值为…………12分

注:本题也可以不建立坐标系，解法从略，请按三小题分值给分