Question

 本题满分12分

    如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

（1）求证：

（2）求证：平面

（3）求二面角的大小

Answer

 解1传统（1）∵面

∴是在面上的射影

又∵，面

∴………………………（3分）

（2）连结，与相交于，连结.     

∵是平行四边形   ∴是的中点

又是的中点    ∴

又面 ,面,∴面  …………（7分）

（3）过作的垂线，垂足为,连

∵为的中点    ∴为的中点

又∵   从而

∴为的平面角

∵且   

∴         ∴

∴二面角为          （12分）

解法2,向量法

令，，如图建立空间直角坐标系

则                    

（1）          ∴      ∴ ………………………………（3分）

(2)取的中点为，则

∵     

∵面     面

∴面……………………………………（7分）

(3)∵为面的法向量

设为面的法向量

则且得                  (10分)

∴

∴二面角为  …………………………………（12分）