Question

如图，已知是正三棱柱，D是AC中点，。

（I）证明

（II）求异面直线所成的角

（III）求以为棱，与为面的二面角的度数。

Answer

 证明：（Ⅰ）∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．

连结B1C交BC1于E，则B1E=EC ．

连结DE，在△AB1C中， ∵AD=DC，∴DE∥AB1，

又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．               ……4分

（Ⅱ）设D1是A1C1的中点，则DD1⊥平面ABC．

所以，以DB为x轴，DC为y轴，DD1为z轴（如图）建立空间直角坐标系．

设AB=2，则，，，，．

∴，，

∵，∴，

即，AB1与BC1所成的角为90°．                                       ………8分

（Ⅲ）∵BC的中点，∴，

∴可取平面CBC1的法向量为．

设平面BC1D的法向量为，

则    

∴可取．

∵，

∴面DBC1与面CBC1所成的二面角为45°．                             ……………12分