Question

设椭圆（）的长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

（I）求椭圆的方程；

（II）过定点（，为常数）作斜率为（）的直线与椭圆交于不同的两点A、B，问在轴上是否存在一点N，使直线NA与NB的倾斜角互补？若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

 【解析】
（Ⅰ）依题意得 解之得 从而．

∴椭圆方程为．                                          ……4分

（Ⅱ）设直线的方程为，

联立方程得消去y得，……6分

∵．

设，，，

则，，（*）

因为直线NA与NB的倾斜角互补等价于，                 ………8分

所以，即，                ………9分

即，

将（*）式代入上式得，

整理得，∵，∴，所以，N点存在，且坐标为，

因此，存在点N使得直线NA与NB的倾斜角互补．               ………12分