Question

 如图所示，棱柱的所有棱长都等于2，，平面AA₁C₁C⊥ABCD，∠A₁AC=60°.

（I）证明：BD⊥AA₁.

（II）求二面角D―A₁A―C的平面角的余弦值.

（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，试说明理由.

Answer

 【解析】
（1）连结BD交AC于O，由于四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又因为二面角D-AC-A1为直二面角，所以BD⊥ACA1.所以BD⊥AA1              4分                                        

   （II）作OK⊥AA1于K，连结DK，则DK⊥AA1. 所以∠OAK=60°所以OK=

而OD=，故tan∠DKO=2,即二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是     8分

（III）延长C1C到P使CP=C1C，连结B1C，BP，则BP//B1C. 所以BP//A1D. 又A1D平面DA1C1，所以BP//平面DA1C1.                                   12分

注：利用空间直角坐标系法解题参照给分。