已知函数
.
（Ⅰ）若函数在区间
（其中
）上存在极值，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）如果当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）求证：
.
已知椭圆
的离心率为
，
直线
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线
过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，
,
，二面角P－AB－C为
，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值.
已知数列
、
的前n项和分别为
、
，
且满足
，
.
（Ⅰ）求
、
的值，并证明数列是等比数列；
（Ⅱ）试确定实数
的值，使数列
是等差数列.
在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
、
、
、
，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为
，求随机变量的分布列和期望.
已知向量
，
.
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）设
，求
的取值范围．
