Question

    已知函数的图象在上连续不断，定义：

    ，

    。

    其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值。若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”。

(I)若，试写出，的表达式；

(II)已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；

(III)已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围。

Answer

【解析】
（Ⅰ）由题意可得:

  ,                                   ………………………1分

.                                       ………………………2分

（Ⅱ）,                                       ………………………3分

   ,                                      ………………………4分

,                                ………………………5分

当时，,;

当时，;

当时，.

综上所述，                                               ………………………6分

即存在，使得是上的4阶收缩函数.                  ………………………7分

（Ⅲ）,令得或.                              

函数的变化情况如下：

令，解得或3.                                      ………………………8分

ⅰ）时，在上单调递增，因此，，.

因为是上的2阶收缩函数，

所以，①对恒成立；

②存在，使得成立.         ………………………9分

①即：对恒成立，

由，解得：或，

要使对恒成立，需且只需.          .………………………10分

②即：存在，使得成立.

由得：或，

所以，需且只需.

综合①②可得：.                                    .………………………11分

ⅱ）当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得：

，，

可得 ，                  

此时，不成立.                               .………………………13分

综合ⅰ）ⅱ）可得：.        

注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已.