Question

 数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1,a_n+1=S_n(n=1,2,3，…)，证明

（1）数列{}是等比数列；

（2）S_n+1=4a_n。

Answer

 证明：（1）an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn，   ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).

整理得nSn+1=2(n+1)Sn,∴=2.   故{}是以2为公比的等比数列

（2）由(1)知=4(n≥2).   于是Sn+1=4(n+1)=4an(n≥2).

又S1=a1=1,a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意整数n≥1，都有Sn+1=4an.