Question

如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，有很多大家熟悉的性质，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|²+|AC|²=|BC|²”和“=+”等，由此联想，在三棱锥O-ABC中，若三条侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，可以推出那些结论？至少写出两个结论。（本题推出一个正确的结论并给出必要的推理证明给7分，满分不超过14分）

 

Answer

 【解析】
（以下仅供参考，不同结论请酌情给分。每个正确结论给2分，证明给5分）  可以得出有以下结论：

（Ⅰ）三个侧面OAB、OAC、OBC两两互相垂直（或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB）

（Ⅱ）=++（H为ΔABC的重心）

（Ⅲ）++=

以下给出具体的证明：

(1)证明：∵OA⊥OC,OB⊥OC ∴OC⊥平面OAB

   ∴平面OAC⊥平面OAB  平面OBC⊥平面OAB 同理可证平面OBC⊥平面OAＣ

（2）证明：如图二   连接AH并延长AH交BC于D连接OD 

∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD

在RtΔABC中  ∵OH⊥OD  ∴OH·AD=AO·OD

 ∴OH2·AD2=AO2·OD2

又∵AD2= OA2+ OD2   ∴=+

 ∵AD⊥BC，由三垂线定理得：BC⊥OD

∴在RtΔOBC中  OD2 ·BC2 =BO2·CO2  

∴OD2=  又∵BC2= BO2+CO2

∴=+ ②  由①②得:=++

(Ⅳ) 证明：如图二（延用（Ⅸ）中的字母a,b,c）∵H为垂心  ∴AD⊥BC

又∵OA、OB、OC两两垂直  ∴SΔOAB=ab   SΔOBC=bc  SΔOAC=ac  

SΔABC= BC·AD

∴++=( a2 b2+ b2 c2+ a2 c2)= a2(b2+ c2)+b2 c2…………①

又∵在RtΔBOC中,OD⊥BC  ∴OB2·OC2= b2 c2=OD2·BC2=OD2·（b2+ c2）………②

∴②代入①得：++=（b2+ c2）·AD2=BC2·AD2=